机器学习——逻辑回归 原理真的用心了

时间:2020-8-21 作者:admin


逻辑回归作为一种基础的分类模型,在机器学习中占据着不可替代的位置。回归是用曲线拟合数据,逻辑回归并非一种回归运算,而是分类算法。接下来进行参数估计,目的是使用现有样本(已分类)训练得到一些参数θ(有些文章中是w和b),使得θ与x的线性组合z映射到sigmoid函数上,可以使这些训练集样本x出现现有分类结果的概率L(θ)极大化,也就是极大似然函数取最大值(此处也可考虑极大似然函数加一个负号转化成损失函数,使损失函数极小化也可达到同样目的)。通过极大似然函数最大化可以推导出θ的求解公式,根据不同的似然函数可以得到两种θ的求解方法,分别是最优化算法中的随机梯度下降法和全批量梯度下降法。最终得出这条分类线,即为最大程度上区分两种或多种类别的、依赖于参数θd的分类线。最终使用这些θ对测试集进行预测,计算预测精度,观察Logistic模型拟合情况。
(纯原创,有错希望大家指正)

目录

1. Logistic原理

1.1 Sigmoid函数

Sigmoid函数是一个值域为(0,1)的s型曲线,它可以将线性函数的任意值映射到s曲线上,作为预计判为正类别(class1)的概率。我们可以任意设定阈值,假设设定为0.5,则映射到Sigmoid函数上值在(0,0.5)内的被判为class0,在(0.5,1)内被判为class1。函数图像如下:
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1.2 前提假设

仅对于一个样本而言,有:

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一式是用sigmoid函数计算出来的概率,第三个公式为一、二式的整合。

1.3 构造似然函数或损失函数

对于多个独立样本而言,由上述第三个公式构造似然函数:
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其中

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为方便求解将似然函数取对数,得到其对数似然函数:

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求对数似然函数的极大值,或者由其构造逻辑回归的对数交叉熵损失函数,只需在前面加负号即可。
关于损失函数的种类此处插入图示:
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1.4 参数估计

对极大似然函数进行一系列偏导为零求极值:

机器学习——逻辑回归 原理真的用心了得到最终θ的参数估计,是对应于全批量梯度下降的公式:
机器学习——逻辑回归 原理真的用心了还有一种随机梯度下降公式:
机器学习——逻辑回归 原理真的用心了全批量梯度下降每次计算都需用到全部数据,计算复杂但可以得到全局最优解;而随机梯度下降每次只需用到一组数据,计算简单但是得到的是局部最优解。

1.5 进行预测并计算精度

有监督学习的好处在于有正确分类的测试集以供测试,通过测试集测试结果计算训练模型的精度,以期判断模型的优劣。

2. 代码实现

2.1 简单案例

2.1.1 库函数导入

import numpy as np              #基础库
import matplotlib.pyplot as plt #画图库
import seaborn as sns           #画图库
from sklearn.linear_model import LogisticRegression #逻辑回归模型函数

2.1.2 模型训练

数据集分为特征数组与标签数组:

#构造数据集
x_features=np.array([[-1,-2],[-2,-1],[-3,-2],[1,3],[2,1],[3,2]])
y_label=np.array([0,0,0,1,1,1])

#调用逻辑回归模型
a=LogisticRegression()

#用逻辑回归模型拟合构造的数据集
a=a.fit(x_features,y_label)#其拟合方程为y=w0 + w1*x1 + w2*x2

2.1.3 模型参数输出

拟合方程为y=w0 + w1x1 + w2x2,输出模型参数:

#查看其对应模型的w
print('the weight of Logistic Regression:',a.coef_)

#查看其对应模型的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regession:',a.intercept_) #第一遍忘记打二者间的逗号

2.1.4 数据及模型可视化

根据标签类别表示为不同颜色:

#可视化构造的数据样本点
plt.figure()
plt.scatter(x_features[:,0],x_features[:,1],c=y_label,s=50,cmap='viridis') #别的c都是颜色,为什么这里是y_label
plt.xlabel('X')  
plt.ylabel('Y')  #设置X轴标签和Y轴标签
plt.title('Dataset')
plt.show()

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#可视化决策边界
plt.figure()
plt.scatter(x_features[:,0],x_features[:,1],c=y_label,s=50,cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

nx,ny=200,100
x_min,x_max=plt.xlim()
y_min,y_max=plt.ylim() #设定x,y坐标轴
x_grid,y_grid=np.meshgrid(np.linspace(x_min,x_max,nx),np.linspace(y_min,y_max,ny))   #做(x_min,x_max,nx)与(y_min,y_max,ny)的笛卡尔积,生成网格点坐标矩阵(二维三维都可以)

z_proba=a.predict_proba(np.c_[x_grid.ravel(),y_grid.ravel()]) #predict Probability estimates. 对X的每条样本进行概率估计
z_proba=z_proba[:,1].reshape(x_grid.shape) #考虑正类为1,计算判为1类的概率值
plt.contour(x_grid,y_grid,z_proba,[0.5],linewidths=2.,colors='blue')#0.5 #绘制轮廓线,level的数字确定阈值

<matplotlib.contour.QuadContourSet at 0x2773ab2eb48>

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下面可视化地对新样本进行预测:


plt.figure()
## new point 1
x_features_new1 = np.array([[0, -1]])
plt.scatter(x_features_new1[:,0],x_features_new1[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 1',xy=(0,-1),xytext=(-2,0),color='blue',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))
"""
Axes.annotate(s, xy, *args, **kwargs)

    s:注释文本的内容
    xy:被注释的坐标点,二维元组形如(x,y)
    xytext:注释文本的坐标点,也是二维元组,默认与xy相同
    xycoords:被注释点的坐标系属性
    arrowprops:箭头的样式,dict(字典)型数据,如果该属性非空,则会在注释文本和被注释点之间画一个箭头。
    connectionstyle就是描绘箭头的样式的,例如箭头的一个弧度、防止箭头被曲线遮挡之类的
    
"""

## new point 2
x_features_new2 = np.array([[1, 2]])
plt.scatter(x_features_new2[:,0],x_features_new2[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 2',xy=(1,2),xytext=(-1.5,2.5),color='red',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))

## 训练样本
plt.scatter(x_features[:,0],x_features[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

# 可视化决策边界(画出分界线)
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')

plt.show()

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2.1.5 模型预测

##在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict=a.predict(x_features_new1)
y_label_new2_predict=a.predict(x_features_new2)
print('The New point 1 predict class:\n',y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:\n',y_label_new2_predict)
##由于逻辑回归模型是概率预测模型(前文介绍的p = p(y=1|x,\theta)),所有我们可以利用predict_proba函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba=a.predict_proba(x_features_new1)
y_label_new2_predict_proba=a.predict_proba(x_features_new2)
print('The New point 1 predict Probability of each class:\n',y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:\n',y_label_new2_predict_proba)

输出结果为:
The New point 1 predict class:
[0]
The New point 2 predict class:
[1]
The New point 1 predict Probability of each class:
[[0.69567724 0.30432276]]
The New point 2 predict Probability of each class:
[[0.11983936 0.88016064]]

可以发现训练好的回归模型将X_new1预测为了类别0(判别面左下侧),X_new2预测为了类别1(判别面右上侧)。其训练得到的逻辑回归模型的概率为0.5的判别面为上图中蓝色的线。

2.2 基于鸢尾花(iris)数据集的逻辑回归

在实践的最开始,我们首先需要导入一些基础的函数库,包括:

  • numpy(Python进行科学计算的基础软件包)

  • pandas(pandas是一种快速,强大,灵活且易于使用的开源数据分析和处理工具)

  • matplotlib和seaborn绘图。

本次我们选择鸢花数据(iris)进行方法的尝试训练,该数据集一共包含5个变量,其中4个特征变量,1个目标分类变量。共有150个样本,目标变量为 花的类别 其都属于鸢尾属下的三个亚属,分别是山鸢尾 (Iris-setosa),变色鸢尾(Iris-versicolor)和维吉尼亚鸢尾(Iris-virginica)。包含的三种鸢尾花的四个特征,分别是花萼长度(cm)、花萼宽度(cm)、花瓣长度(cm)、花瓣宽度(cm),这些形态特征在过去被用来识别物种。

变量如下:

sepal length 花萼长度(cm)
sepal width 花萼宽度(cm)
petal length 花瓣长度(cm)
petal width 花瓣宽度(cm)
target 鸢尾的三个亚属类别,‘setosa’(0), ‘versicolor’(1), ‘virginica’(2)

2.2.1 库函数导入

##  基础函数库
import numpy as np 
import pandas as pd

## 绘图函数库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

2.2.2 数据读取、载入

利用Pandas把json文件转化为csv文件(解决了以前的一个问题):

##我们利用sklearn中自带的iris数据作为数据载入,并利用Pandas转化为DataFrame格式
from sklearn.datasets import load_iris
data = load_iris() #得到数据特征
iris_target = data.target #得到数据对应的标签
iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas转化为DataFrame格式

2.2.3 数据信息简单查看

##利用.info()查看数据的整体信息
iris_features.info()

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##进行简单的数据查看,我们可以利用.head()头部.tail()尾部
iris_features.head()

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iris_features.tail()

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其对应的类别标签为,其中0,1,2分别代表’setosa’,‘versicolor’,’virginica’三种不同花的类别,共有150个数据。

iris_target

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##利用value_counts函数查看每个类别数量
pd.Series(iris_target).value_counts()

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对于特征列进行统计描述:

iris_features.describe() #从统计描述中我们可以看到不同数值特征的变化范围。

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2.2.4 可视化描述

## 合并标签和特征信息
iris_all = iris_features.copy() ##进行浅拷贝,防止对于原始数据的修改
iris_all['target'] = iris_target

特征与标签组合的散点可视化:

sns.pairplot(data=iris_all,diag_kind='hist', hue= 'target')
plt.show()

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从上图可以发现,在2D情况下不同的特征组合对于不同类别的花的散点分布,以及大概的区分能力。可以看出petal width的区分度还是可以的,其次是petal length。

#箱线图可视化
for col in iris_features.columns:
    sns.boxplot(x='target', y=col, saturation=0.5, 
palette='pastel', data=iris_all)
    plt.title(col)
    plt.show()

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机器学习——逻辑回归 原理真的用心了从箱线图我们同样可以得出上面的结论,很明显前两个特征对于三个target的区分度不大,后两个较为优秀。

# 选取其前三个特征绘制三维散点图,颜色表现为三个类别
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig = plt.figure(figsize=(10,8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

iris_all_class0 = iris_all[iris_all['target']==0].values
iris_all_class1 = iris_all[iris_all['target']==1].values
iris_all_class2 = iris_all[iris_all['target']==2].values
# 'setosa'(0), 'versicolor'(1), 'virginica'(2)
ax.scatter(iris_all_class0[:,0], iris_all_class0[:,1], iris_all_class0[:,2],label='setosa')
ax.scatter(iris_all_class1[:,0], iris_all_class1[:,1], iris_all_class1[:,2],label='versicolor')
ax.scatter(iris_all_class2[:,0], iris_all_class2[:,1], iris_all_class2[:,2],label='virginica')
plt.legend()

plt.show()

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画个3D网格图吧,按理说它是可以360度旋转的,这里不知道为啥不行。(淦,此处厚码)

2.2.5 利用逻辑回归进行二分类的训练及预测

为了正确评估模型性能,将数据划分为训练集和测试集,并在训练集上训练模型,在测试集上验证模型性能。

from sklearn.model_selection import train_test_split

##选择其类别为0和1的样本(不包括类别为2的样本)
iris_features_part=iris_features.iloc[:100]
iris_target_part=iris_target[:100]

##测试集大小为20%,80%/20%分
x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(iris_features_part,iris_target_part,test_size=0.2,random_state=2020)
##从sklearn中导入逻辑回归模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
##定义逻辑回归模型
clf=LogisticRegression(random_state=0,solver='lbfgs') #clf为classification function的简写,分类器
##在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train,y_train) 

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对参数进行估计:

##查看其对应的w
print('the weight of Logistic Regression:',clf.coef_)

##查看其对应的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',clf.intercept_)

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在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测:

train_predict=clf.predict(x_train)
test_predict=clf.predict(x_test)
from sklearn import metrics
##利用accuracy(准确度)【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))

##查看混淆矩阵(预测值和真实值的各类情况统计矩阵)
confusion_matrix_result=metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test) #前面参数是预测值,后面是真实值
print('The confusion matrix result:\n',confusion_matrix_result)

##利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8,6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result,annot=True,cmap='Blues')
plt.xlabel('Predictedlabels')
plt.ylabel('Truelabels')
plt.show()

机器学习——逻辑回归 原理真的用心了机器学习——逻辑回归 原理真的用心了通过上图我们可以发现其准确度为1,代表所有的样本都预测正确了。

2.2.6 利用逻辑回归进行三分类的训练及预测

##测试集大小为20%,80%/20%分,与二分类不同,将iris_features_part,iris_target_part替换为iris_features,iris_target
x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(iris_features,iris_target,test_size=0.2,random_state=2020)
##定义逻辑回归模型,与二分类一样
clf=LogisticRegression(random_state=0,solver='lbfgs')
##在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train,y_train)

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##查看其对应的w,与二分类一样
print('the weight of Logistic Regression:\n',clf.coef_)
##查看其对应的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:\n',clf.intercept_)
##由于这个是3分类,所有我们这里得到了三个逻辑回归模型的参数,其三个逻辑回归组合起来即可实现三分类

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##查看混淆矩阵
confusion_matrix_result=metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test)
print('The confusion matrix result:\n',confusion_matrix_result)

##利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8,6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result,annot=True,cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()

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3. Sigmoid函数作图及总结

(再磨叽一遍加深印象)当逻辑回归中的线性组合z≥0 时,y≥0.5,分类为1,当 z<0时,y<0.5,分类为0,其对应的y值我们可以视为类别1的概率预测值。Logistic回归虽然名字里带“回归”,但是它实际上是一种分类方法,主要用于两分类问题(即输出只有两种,分别代表两个类别),所以利用了Logistic函数(或称为Sigmoid函数),函数形式为:

#对应的图像可以表示如下
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-5,5,0.01)
y = 1/(1+np.exp(-x))

plt.plot(x,y)
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
plt.show()

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所以,逻辑回归从其原理上来说,逻辑回归其实是实现了一个决策边界:对于函数,当z≥0 时,y≥0.5,分类为1,当 z<0时,y<0.5,分类为0,其对应的y值我们可以视为类别1的概率预测值。

对于模型的训练而言:实质上来说就是利用数据求解出对应的模型的特定的ω。从而得到一个针对于当前数据的特征逻辑回归模型。

而对于多分类而言,将多个二分类的逻辑回归组合,即可实现多分类。

总之,逻辑回归作为一个分类算法,十分简单并且易于实现,计算代价不高、速度很快,但是也常常会发生欠拟合的问题,在分析复杂数据时分类精度可能不高,但对于鸢尾花iris数据,足够了。

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