[Python3] 超级码力在线编程大赛初赛 第2场 题解

时间:2020-9-1 作者:admin


P1 三角魔法

描述
小栖必须在一个三角形中才能施展魔法,现在他知道自己的坐标和三个点的坐标,他想知道他能否施展魔法

解:

  • 判断是否共线
  • 判断是否在三角形内

补充知识(好久之前学的,早忘了):

  1. 判断是否共线
    对于三个点

    (x0,y0)(x0, y0)

    (x1,y1)(x1, y1)

    (x2,y2)(x2, y2)

    ,如果满足

    (y3y1)(x2x1)(y2y1)(x3x1)=0(y 3-y 1)(x 2-x 1)-(y 2-y 1)(x 3-x 1)=0

    , 那么这三点共线。

  2. 判断是否在三角形内:
    判断

    PP

    是否在

    AB,CA,B, C

    组成的三角形内。 如果在三角形内,则:

    AP=u×(AB)+v×ACA P=u \times(A B)+v\times A C


    满足

    0u,v10 \leq u,v \leq 1

    , 且

    u+v1u+v\leq 1

    v=x2y0y2x0x1y0y1x0v=\frac{x_{2} y_{0}-y_{2} x_{0}}{x_{1} y_{0}-y_{1} x_{0}}


    u=x2y1y2x1x0y1y0x1u=\frac{x_{2} y_{1}-y_{2} x_{1}}{x_{0} y_{1}-y_{0} x_{1}}


    其中,

    AP=(x2,y2)AP=(x2, y2)

    ,

    AB=(x0,y0)AB=(x0,y0)

    ,

    AC=(x1,y1)AC=(x1,y1)

class Solution:
    """
    @param triangle: Coordinates of three points
    @param point: Xiaoqi's coordinates
    @return: Judge whether you can cast magic
    """
    def castMagic(self, triangle, point):
        # write your code here
        return "Yes" if self.solve(triangle, point) else "No"

    def solve(self, triangle, point):
        A, B, C = triangle
        P = point
        if self.isline(A, B, C): return False
        def vec(P, X):
            p0, p1 = P
            x0, x1 = X
            return [p0 - x0, p1 - x1]
        AP, AB, AC = vec(A, P), vec(A, B), vec(A, C)
        x0, y0 = AB
        x1, y1 = AC
        x2, y2 = AP
        div = x1 * y0 - y1 * x0
        u = (x2 * y0 - y2 * x0) / div
        v = -(x2 * y1 - y2 * x1) / div
        return 0 <= u <= 1 and 0 <= v <= 1 and u + v <= 1

    def isline(self, A, B, C):
        x1, y1 = A
        x2, y2 = B
        x3, y3 = C
        return (y3 - y1) * (x2 - x1) == (y2 - y1) * (x3 - x1)

P2 区间异或

描述
有一个数组num,现在定义区间对的和等于:左区间的最大值加右区间的最小值 由于小栖特别能突发奇想,他突然想知道多个区间对和的异或和是多少

4<=len(4<=\operatorname{len}(

num

)<=50000)<=50000


0<=num[i]<=100000000<=\operatorname{num}[i]<=10000000


1<=len(1<=\operatorname{len}(

ask

)<=100000)<=100000


len(ask[0])=4,s\operatorname{len}(a s k[0])=4, s

,分别表示 l1,r1,l2,r2
num中视作下标从1开始,而不是0
左右区间可能重合

解:

  1. ST表 贴一下 秒过舒服
from math import log
class ST:
    def __init__(self, arr):
        n = len(arr)
        K = int(log(n, 2))
        self.Ma = [[0]*(K+1) for _ in range(n)]
        self.Mi = [[0]*(K+1) for _ in range(n)]
        for k in range(K+1):
            for i in range(n):
                if k == 0:
                    self.Ma[i][k] = arr[i]
                    self.Mi[i][k] = arr[i]
                else:
                    if i + (1 << (k - 1)) >= n:
                        continue
                    self.Ma[i][k] = max(self.Ma[i][k-1], self.Ma[i+(1 << (k-1))][k-1])
                    self.Mi[i][k] = min(self.Mi[i][k-1], self.Mi[i+(1 << (k-1))][k-1])

    def query_max(self, L, R):
        k = int(log(R - L + 1, 2))
        return max(self.Ma[L][k], self.Ma[R - (1 << k) + 1][k])

    def query_min(self, L, R):
        k = int(log(R - L + 1, 2))
        return min(self.Mi[L][k], self.Mi[R - (1 << k) + 1][k])

class Solution:
    """
    @param num: array of num
    @param ask: Interval pairs
    @return: return the sum of xor
    """
    def Intervalxor(self, num, ask):
        # write your code here
        ret = 0
        st = ST(num)
        for L0, R0, L1, R1 in ask:
            ret ^= st.query_min(L1 - 1, R1 - 1) + st.query_max(L0 - 1, R0 - 1)
        return ret

P3 五字回文

描述
小栖最近很喜欢回文串,由于小栖的幸运数字是5,他想知道形似“abcba”的回文串在他给定的字符串中的数量

s. length

<=106<=10^{6}


字符串s只包含小写字母

解:

  1. 打卡
class Solution:
    """
    @param s: The given string
    @return: return the number of Five-character palindrome
    """
    def Fivecharacterpalindrome(self, s):
        # write your code here
        n = len(s)
        def f(i):
            if i + 4 >= n: return 0
            if s[i] == s[i+4] and s[i+1] == s[i+3] and len(set(s[i:i+5])) == 3:
                return 1
            return 0
        return 0 if not s else sum(f(i) for i in range(n))

P4 小栖的金字塔

描述
小栖有一个金字塔,每一层都有编号.
[Python3] 超级码力在线编程大赛初赛 第2场 题解

小栖可以在不同点间移动,假设小栖现在在

(x1,y1)(x_1, y_1)

,他能够移动到的下一个点满足x2>=x1&&y2>=y1现在小栖呆在

(k,k)(k,k)

处,由于我们不能确定小栖现在在哪儿,所以你需要求出所有点

(k,k)(k,k)

到达

(n,n)(n,n)

的方案数的和。

1<=k<=n<=1071<=k<=n<=10^{7}


由于方案数很大,请对方案数取模1e9+7

解:

  1. 用dp算一下值, 写完就知道超时了。 看到
    1,2,6,22,90,394,1806,8558,415861, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, 41586

    ,网上找了下才知道是施罗德数。

  2. 那我们就站在巨人的肩膀上把:)

下图为 n=1,2,3n=1,2,3 时的施罗德路径
[Python3] 超级码力在线编程大赛初赛 第2场 题解
施罗德数公式为:

Si=Si1+j=0i1SjSnj1S_{i}=S_{i-1}+\sum_{j=0}^{i-1} S_{j} S_{n-j-1}

这个公式n比较小大概5次幂还行。题目是要7次幂, 有另外一个公式:

(i+1)Fi=(6n3)Fi1(i2)Fi2(i+1) F_{i}=(6 n-3) F_{i-1}-(i-2) F_{i-2}


其中,

FiF_i

满足

2Fi=Si,i12 F_{i}=S_{i}, \quad i \geqslant 1


到这里,还不能做出来, 还要取模, 好像用刀了Lucas公式什么的,没咋看,代码抄过来就好了。 反正, 以后它就是我的模板了。

class Solution:
    """
    @param n: The number of pyramid levels n
    @param k: Possible coordinates k
    @return: Find the sum of the number of plans
    """
    def pyramid(self, n, k):
        #
        k = [n - x for x in k]
        n = max(k)
        A = [1, 1] + [0] * (n - 1)
        mod = 10 ** 9 + 7
        def qmi (a, k):
            ret = 1
            while k:
                if k & 1: ret = (ret * a) % mod
                k >>= 1
                a = (a * a) % mod
            return ret

        for i in range(2, n+1):
            A[i] = (((6 * i - 3) * A[i - 1] - (i - 2) * A[i - 2]) % mod) * (qmi(i + 1, mod - 2) % mod)
            A[i] = A[i] % mod
        ret = 0
        for x in k:
            if x == 0:
                ret = (ret + A[0]) % mod
            else:
                ret = (ret + 2*A[x]) % mod
        return ret % mod
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